Kettenregel mit zwei variablen

Beispiel: Partielle Ableitung mit Kettenregel

Gegeben sei die Funktion:

$$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$$

Wir schreiben dies als Verkettung zweier Funktionen $f(x,y)=u(v(x,y))$

• Äußere Funktion u: $u(z)=\frac{1}{z}\Rightarrow u^{\prime }(z)=-\frac{1}{z^2}$
• Innere Funktion v: $v(x,y)=x^2+y^2\Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=2x$

Die Kettenregel lautet “äußere mal innere Ableitung”:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=u^{\prime }(v(x,y))\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

Einsetzen von u und v in die Kettenregel ergibt:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\left(-\frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}\right)\cdot 2x=\frac{-2x}{(x^2+y^2{)}^2}$$

Ergebnis:

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)=\frac{-2x}{(x^2+y^2{)}^2}}$$