Ableitungsregeln

Potenzregel

Für $f(x)=x^n$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}$$

Beispiel anzeigen:

$f(x)=x^4$

Lösung:

$$f^{\prime }(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$$

Faktorregel

Für $f(x)=a\cdot g(x)$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=a\cdot g^{\prime }(x)$$

Beispiel anzeigen:

$f(x)=3\cdot x^2$

Lösung:

$$f^{\prime }(x)=3\cdot (2x)=6x$$

Summenregel

Für $f(x)=u(x)\pm v(x)$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$$

Beispiel anzeigen:

$f(x)=x^3+2x$

Lösung:

$$f^{\prime }(x)=3x^2+2$$

Produktregel

Für $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

Beispiel anzeigen:

$f(x)=x^2\cdot \sin (x)$

Lösung:

$$f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin (x)+x^2\cdot \cos (x)$$

Noch mehr Beispiele und Übungsaufgaben gibt es hier: Ableitungsregeln Übungen

Kettenregel

Für $f(x)=u(v(x))$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$$

Beispiel anzeigen:

$f(x)=\sin (3x^2)$.

Diese Funktion ist eine Verkettung zweier Funktionen:

• äußere Funktion: $u(x)=\sin (x)\Rightarrow u^{\prime }(x)=\cos (x)$
• innere Funktion: $v(x)=3x^2\Rightarrow v^{\prime }(x)=6x$

Alles in die Kettenregel einsetzen ergibt:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)=\cos (3x^2)\cdot 6x$$

🌳 Ergebnis:

$$f^{\prime }(x)=6x\cdot \cos (3x^2)$$

Weitere Beispiele und Übungen findest du hier: Ableitungsregeln Übungen