Extremwerte und Wendepunkte

Hoch-, Tief- und Wendepunkte sind das Herzstück jeder Kurvendiskussion. Die gute Nachricht: Du brauchst dafür nichts Neues zu lernen. Du brauchst nur die Ableitungsregeln und die Fähigkeit, Nullstellen zu bestimmen. Der Rest ist ein festes Schema.

Die Idee dahinter

Stell dir vor, du fährst mit dem Rad über einen Hügel. Beim Hinauffahren steigt es, beim Hinunterfahren fällt es. Genau auf der Kuppe ist es für einen Moment flach.

Flach heißt: Steigung null. Und die Steigung ist genau das, was $f^{\prime }(x)$ misst.

Notwendige Bedingung

An einer Extremstelle $x_0$ ist die Steigung null:

$$f^{\prime }(x_0)=0$$

Deshalb ist der erste Schritt immer derselbe: Ableiten und gleich null setzen.

Damit hast du die Kandidaten. Was du noch nicht weißt: Ist es ein Hügel oder ein Tal?

Hochpunkt oder Tiefpunkt?

Dafür schaust du dir die Krümmung an, also $f^{\prime \prime }(x)$.

Hinreichende Bedingung

Sei $f^{\prime }(x_0)=0$. Dann gilt:

$$f^{\prime \prime }(x_0)<0\Rightarrow \text{Hochpunkt (Maximum)}$$ $$f^{\prime \prime }(x_0)>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt (Minimum)}$$

Merkhilfe, falls du die Vorzeichen dauernd verwechselst: Ein negatives $f^{\prime \prime }$ krümmt den Graphen nach unten — wie ein Hügel. Ein positives $f^{\prime \prime }$ krümmt nach oben — wie eine Schüssel, also ein Tal. Das Vorzeichen zeigt in die Richtung, in die sich der Graph wölbt.

Der Sonderfall $f^{\prime \prime }(x_0)=0$

Ist auch die zweite Ableitung null, sagt dir das Kriterium nichts. Es kann trotzdem ein Extrempunkt sein, muss aber nicht.

Klassisches Gegenbeispiel: $f(x)=x^3$. Hier ist $f^{\prime }(0)=0$ und $f^{\prime \prime }(0)=0$, aber der Graph steigt einfach weiter. So einen Punkt nennt man Sattelpunkt.

In dem Fall prüfst du den Vorzeichenwechsel von $f^{\prime }$: Wechselt $f^{\prime }$ bei $x_0$ von $+$ nach $-$, ist es ein Hochpunkt. Von $-$ nach $+$ ein Tiefpunkt. Kein Wechsel, kein Extrempunkt.

Wendepunkte

Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Krümmung kippt — aus der Linkskurve wird eine Rechtskurve. Auf dem Fahrrad ist das der Moment, in dem du das Lenkrad durch die Mittelstellung drehst.

Krümmung ist $f^{\prime \prime }$. Wenn die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt, muss sie unterwegs null sein.

Wendepunkte bestimmen

Notwendig:

$$f^{\prime \prime }(x_0)=0$$

Hinreichend:

$$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$$

Das ist dieselbe Logik wie oben, nur eine Ableitung weiter oben angesetzt.

Das Schema

So gehst du jedes Mal vor

1. $f^{\prime }(x)$ und $f^{\prime \prime }(x)$ bilden (für Wendepunkte zusätzlich $f^{\prime \prime \prime }(x)$)
2. $f^{\prime }(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen → Kandidaten
3. Kandidaten in $f^{\prime \prime }$ einsetzen → Hochpunkt oder Tiefpunkt
4. x-Werte in $f$ einsetzen, um die y-Koordinate zu bekommen
5. Ergebnis als Punkt angeben: $H(x\mid y)$ bzw. $T(x\mid y)$

Schritt 4 wird am häufigsten vergessen

Gefragt ist der Punkt, nicht die Stelle. $x=2$ ist erst die halbe Antwort. Setz den Wert in die ursprüngliche Funktion $f$ ein — nicht in $f^{\prime }$ oder $f^{\prime \prime }$ — und gib $T(2\mid -3)$ an.

Komplett durchgerechnet

Beispiel

Bestimme alle Hoch-, Tief- und Wendepunkte von

$$f(x)=x^3-3x^2+1$$

Lösung anzeigen: Schritt 1: Ableitungen bilden

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x,f^{\prime \prime }(x)=6x-6,f^{\prime \prime \prime }(x)=6$$

Schritt 2: $f^{\prime }(x)=0$

$$3x^2-6x=0$$

$3x$ ausklammern, nicht durch $x$ teilen:

$$3x(x-2)=0\Rightarrow x_1=0,x_2=2$$

Schritt 3: in $f^{\prime \prime }$ einsetzen

$$f^{\prime \prime }(0)=6\cdot 0-6=-6<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}$$ $$f^{\prime \prime }(2)=6\cdot 2-6=6>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$

Schritt 4: y-Werte über $f$

$$f(0)=0-0+1=1$$ $$f(2)=8-12+1=-3$$ $$\boxed{H(0\mid 1),T(2\mid -3)}$$

Schritt 5: Wendepunkt

$$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$$

$f^{\prime \prime \prime }(1)=6\ne 0$, also liegt wirklich ein Wendepunkt vor.

$$f(1)=1-3+1=-1$$ $$\boxed{W(1\mid -1)}$$

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimme Hoch-, Tief- und Wendepunkte von

$$f(x)=x^3-12x$$

Lösung anzeigen:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12,f^{\prime \prime }(x)=6x,f^{\prime \prime \prime }(x)=6$$

$f^{\prime }(x)=0$:

$$3x^2-12=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x_1=2,x_2=-2$$

In $f^{\prime \prime }$ einsetzen:

$$f^{\prime \prime }(2)=12>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$ $$f^{\prime \prime }(-2)=-12<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}$$

y-Werte:

$$f(2)=8-24=-16,f(-2)=-8+24=16$$ $$\boxed{H(-2\mid 16),T(2\mid -16)}$$

Wendepunkt: $f^{\prime \prime }(x)=6x=0\Rightarrow x=0$, und $f^{\prime \prime \prime }(0)=6\ne 0$.

$$f(0)=0\Rightarrow \boxed{W(0\mid 0)}$$

Aufgabe 2

Bestimme die Extrempunkte von

$$f(x)=x^2-4x+7$$

Lösung anzeigen:

$$f^{\prime }(x)=2x-4,f^{\prime \prime }(x)=2$$ $$2x-4=0\Rightarrow x=2$$

$f^{\prime \prime }(2)=2>0$, also Tiefpunkt.

$$f(2)=4-8+7=3$$ $$\boxed{T(2\mid 3)}$$

Einen Wendepunkt gibt es nicht: $f^{\prime \prime }(x)=2$ ist konstant und wird nie null. Das passt zur Anschauung — eine Parabel ist überall gleich gekrümmt.

Aufgabe 3

Bestimme Hoch-, Tief- und Wendepunkte von

$$f(x)=x^4-2x^2$$

Lösung anzeigen:

$$f^{\prime }(x)=4x^3-4x,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4,f^{\prime \prime \prime }(x)=24x$$

$f^{\prime }(x)=0$, dabei $4x$ ausklammern:

$$4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x_1=0,x_2=1,x_3=-1$$

In $f^{\prime \prime }$ einsetzen:

$$f^{\prime \prime }(0)=-4<0\Rightarrow \text{Hochpunkt}$$ $$f^{\prime \prime }(1)=12-4=8>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$ $$f^{\prime \prime }(-1)=12-4=8>0\Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$

y-Werte:

$$f(0)=0,f(1)=1-2=-1,f(-1)=1-2=-1$$ $$\boxed{H(0\mid 0),T(1\mid -1),T(-1\mid -1)}$$

Wendepunkte:

$$12x^2-4=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Für beide Stellen ist $f^{\prime \prime \prime }(x)=24x\ne 0$. Die y-Werte:

$$f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}=-\frac{5}{9}$$ $$\boxed{W_1\left(\frac{1}{\sqrt{3}}|-\frac{5}{9}\right),W_2\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}|-\frac{5}{9}\right)}$$