Nullstellen

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der ein Graph die x-Achse trifft. Mehr steckt nicht dahinter: Du suchst das $x$, bei dem der Funktionswert $0$ herauskommt.

$$f(x)=0$$

Das klingt nach einem Detail, ist aber die Rechnung, die dir im Abi am häufigsten begegnet. Schnittpunkte mit der x-Achse, Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Graphen — am Ende läuft fast alles darauf hinaus, eine Gleichung gleich null zu setzen.

Die eine Idee, die alles trägt

Bevor du irgendeine Formel auspackst: Es gibt einen Trick, der die halbe Arbeit macht.

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.

$$u(x)\cdot v(x)=0⟺u(x)=0\text{oder}v(x)=0$$

Überleg dir kurz, warum das stimmen muss: Wenn du zwei Zahlen multiplizierst und keine davon null ist, kann unmöglich null herauskommen. Genau deshalb darfst du ein Produkt in seine Faktoren zerlegen und jeden einzeln gleich null setzen.

Beispiel anzeigen:

$$(x-3)(2x+8)=0$$

Lösung: Jeden Faktor einzeln null setzen.

$$x-3=0\Rightarrow x=3$$ $$2x+8=0\Rightarrow 2x=-8\Rightarrow x=-4$$ $$\boxed{x_1=3,x_2=-4}$$

Deine eigentliche Aufgabe ist damit meistens gar nicht das Lösen, sondern das Umformen in ein Produkt. Sobald da ein Produkt steht, bist du fertig.

Welcher Weg bei welcher Funktion

Ausklammern, wenn in jedem Summanden ein $x$ steckt

Steht in jedem Summanden mindestens ein $x$, klammere die höchste gemeinsame $x$-Potenz aus. Mehr dazu unter Ausklammern.

Beispiel anzeigen:

$$f(x)=x^3-4x$$

Lösung: Erst $x$ ausklammern, dann die dritte binomische Formel rückwärts.

$$x^3-4x=x\cdot (x^2-4)=x\cdot (x-2)\cdot (x+2)$$

Jetzt steht ein Produkt aus drei Faktoren da — Satz vom Nullprodukt anwenden:

$$x=0\text{oder}x-2=0\text{oder}x+2=0$$ $$\boxed{x_1=0,x_2=2,x_3=-2}$$

Quadratische Gleichungen

Bekommst du die Form $a{x}^2+bx+c=0$ nicht durch Ausklammern zerlegt, nimm die Mitternachtsformel:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Beispiel anzeigen:

$$f(x)=x^2-5x+6$$

Lösung: Hier ist $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$$ $$\boxed{x_1=3,x_2=2}$$

Schon faktorisiert? Dann direkt ablesen

Steht die Funktion bereits als Produkt da, brauchst du gar nicht zu rechnen.

$$f(x)=2(x+1)(x-5{)}^2$$

Nullstellen bei $x=-1$ und $x=5$. Der Vorfaktor $2$ ist egal, denn $2\ne 0$ und kann das Produkt nie null machen.

Der Fehler, der dich Punkte kostet

Teile niemals durch $x$

Sehr verbreitet und immer falsch:

$$x^3-4x=0|:x\Rightarrow x^2-4=0$$

Damit bekommst du $x=2$ und $x=-2$ — und hast $x=0$ verloren. Beim Teilen durch $x$ nimmst du stillschweigend an, dass $x\ne 0$ ist. Genau der Fall, den du suchst, fällt hinten runter.

Also: ausklammern statt dividieren. Dann bleiben alle Lösungen erhalten.

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen von

$$f(x)=x^2-9$$

Lösung anzeigen:

Das ist die dritte binomische Formel rückwärts:

$$x^2-9=(x-3)(x+3)$$

Satz vom Nullprodukt:

$$x-3=0\text{oder}x+3=0$$ $$\boxed{x_1=3,x_2=-3}$$

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen von

$$f(x)=x^3-3x^2$$

Lösung anzeigen: $x^2$, also $x^2$ ausklammern:

In beiden Summanden steckt

$$x^3-3x^2=x^2\cdot (x-3)$$

Satz vom Nullprodukt:

$$x^2=0\text{oder}x-3=0$$ $$\boxed{x_1=0,x_2=3}$$

Weil der Faktor $x^2$ quadratisch ist, nennt man $x_1=0$ eine doppelte Nullstelle. Der Graph schneidet die x-Achse dort nicht, sondern berührt sie nur.

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen von

$$f(x)=2x^2-8x+6$$

Lösung anzeigen: $2$ teilen — das ist hier erlaubt, weil $2$ eine Zahl ist und kein $x$:

Erst durch

$$2x^2-8x+6=0|:2$$ $$x^2-4x+3=0$$

Mitternachtsformel mit $a=1$, $b=-4$, $c=3$:

$$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}$$ $$\boxed{x_1=3,x_2=1}$$

Aufgabe 4

Bestimme die Nullstellen von

$$f(x)=x^3-x$$

Lösung anzeigen: $x$ ausklammern, dann dritte binomische Formel:

$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$ $$\boxed{x_1=0,x_2=1,x_3=-1}$$

Hättest du hier durch $x$ geteilt, wäre $x_1=0$ verschwunden.

Wie es weitergeht

Nullstellen sind das Werkzeug, mit dem du gleich weiterarbeitest: Für Hoch-, Tief- und Wendepunkte suchst du die Nullstellen von $f^{\prime }(x)$ und $f^{\prime \prime }(x)$. Genau dieselbe Rechnung, nur mit einer anderen Funktion. Siehe Extremwerte und Wendepunkte.