Kettenregel Aufgaben

Hier gibt es noch mehr Aufgaben: Ableitungsregeln Übungen

Aufgabe 1

Bestimme die Ableitung der Funktion

$$f(x)=\frac{1}{x^2+\text{sin}(x)}$$

Lösung anzeigen:

Erforderliches Grundwissen für diese Aufgabe: Kettenregel Wir schreiben f(x) als Verkettung zweier Funktionen

$$f(x)=u(v(x))$$

• Äußere Funktion $u(x)$:

$$u(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\Rightarrow u^{\prime }(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$

• Innere Funktion $v(x)$:

$$v(x)=x^2+\text{sin}(x)\Rightarrow v^{\prime }(x)=2x+\text{cos}(x)$$

Die Kettenregel lautet “äußere mal innere Ableitung”:

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$$

Einsetzen von u und v in die Kettenregel ergibt:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x^2+\text{sin}(x){)}^2}\cdot (2x+\text{cos}(x))=-\frac{2x+\text{cos}(x)}{(x^2+\text{sin}(x){)}^2}$$

Ergebnis:

$$\boxed{f^{\prime }(x)=-\frac{2x+\text{cos}(x)}{(x^2+\text{sin}(x){)}^2}}$$